Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak

Andri Muchsin
Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak-cerdaskan.com. Pada postingan kali ini, saya akan mengulas sedikit materi tentang pertidaksamaan dalam bentuk nilai mutlak. Nilai mutlak disebut juga modulus dengan lambang | |. Seperti kita ketahui bahwa tanda | | mutlak digunakan untuk mempositifkan nilai yang dalam fakta harus positif tetapi bernilai negative, seperti luas (karna luas tidak mungkin negative), dan sebagainya. Sedangkan pertidaksamaan merupakan suatu pernyataan yang menggunakan notasi ≠, ≤, ≥, <, > dan tanda ketaksamaan lainnya. Dalam artikel ini saya sertakan juga pembuktian sifat-sifat nilai mutlak yang perlu diketahui. Selamat membaca artikel ini dengan santai, pahami dan resapi agar anda cepat faham.

Definisi Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan real x dinotasikan dengan |x|. Nilai mutlak mempunyai definisi yakni :

(Definisi) Nilai Mutlak, Untuk setiap x ε R , |x|= {-x, jika x <0 x, jika x ≥ 0

Contoh :

|7|= 7

|-9| = -(-9) = 9

|-0,834| = 0,834

|√4 – 8| = – (√4 – 8) = 8 – √4.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa |x| akan selalu bernilai positif atau non negative.

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Untuk x, p ε R dan p > 0 maka berlaku;

  • Jika |x| ≤ p maka – p  ≤ x  ≤ p
  • Jika |x| ≥ p maka x ≤ – p atau x ≥ p
  • |x| = √x2

Bukti :

Misalkan x2 = k maka √k = |x| merupakan sifat bilangan akar. Karena k = x2 maka √x2 = |x| “terbukti”.

  • |x|2 = x2
  • Jika |x| < |k| maka x2 < k2 merupakan sifat bilangan positif
  • Untuk x, k ε R maka berlaku ;

1). |x . k| = |x| x |k|

2). |x/k| = |x|/|k| , k ≠ 0

3). |x – k|≥ |x| – |k|

Bukti :

|x – k|2 = x2 – 2xk + k2

|x – k|2 ≥ x2 – 2|x||k| + k2 dengan 2|x||k| sudah pasti positif

|x – k|2 ≥ (|x| – |k|)2

|x – k| ≥ |x| – |k|

  • |x + k| ≤ |x| + |k|

Bukti :

|x + k|2 = x2 + 2xk + k2

|x + k|2 ≤ x2 + 2|x||k| + k2

|x + k|2 ≤ (|x|+|k|)2

|x + k| ≤ |x| + |k|

Contoh :

Selesaikanlah pertidaksamaan berikut ini :

|4x – 1| > 11

Penyelesaian :

Cara 1: |4x – 1| > 11

4x – 1 < – 11 atau 4x – 1 > 11

4x < -10 atau 4x > 12

x < -5/2 atau x > 3, x ε R

maka, himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x < -5/2 atau x > 3, x ε R }

cara 2 : |4x – 1| > 11

(4x – 1)2 > 112

16x2 – 8x + 1 > 121

16x2 – 8x + 120 > 0

2x2 – x + 15 > 0

(2x + 5)(x – 3) > 0

Sehingga, x = -5/2 dan x = 3 adalah titik-titik kritis dari pertidaksamaan kuadrat 2x2 – x + 15 > 0. Misalkan, dipilih titik uji x = 0 maka ;

(2x + 5)(x – 3) > 0

(2.0 + 5)(0 – 3) > 0

(0 + 5)(– 3) > 0

2 > 0

HP = {x|x < -5/2 atau x > 3, x ε R }

Contoh soal diatas merupakan bentuk pertidaksamaan nilai mutlak yaitu |ax + b| > p, dengan a, b dan p ε R juga untuk pertidaksamaan yang serupa yaitu <, ≤, ≥ dan ≠.

Ada juga bentuk pertidaksamaan nilai mutlak yaitu |ax + b| > |cx + d|, dengan a,b,c,d  ε R . juga untuk pertidaksamaan yang serupa yaitu <, ≤, ≥ dan ≠.

Contohnya :

Selesaikanlah pertidaksamaan berikut :

|4x – 2| > |x  – 3|

Penyelesaian :

Cara 2 : |4x – 2| > |x  – 3|

(4x – 2)2 > (x – 3)2

16x2 – 16x + 4 > x2 – 6x + 9

15x2 – 10x – 5 > 0

3x2 – 2x – 1 > 0

(x – 1) (3x + 1) > 0

HP = {x|x < 1 atau x > -1/3, x ε R }

Cara 2 : |4x – 2| > |x  – 3|

4x – 2 < – (x – 3) atau 4x – 2 > x – 3

4x  - 2 < – x + 3 atau 4x – 2 > x – 3

5x  < 5 atau 3x > – 1

x < 1 atau x > -1/3 , x ε R

HP = {x|x < 1 atau x > -1/3, x ε R }u

Sekian penjelasan dari saya mengenai pertidaksamaan bentuk nilai mutlak. Apabila contoh dan pembuktian saya ada yang kurang tepat silahkan anda komentar lalu saya perbaiki. Karena kesalahan penulisan itu sangat wajar, apalagi jika kelelahan maka konsentrasi menulis itu sedikit berkurang. Semoga tulisan ini berguna dan dapat membantu anda dalam mencari materi tentang pertidaksamaan bentuk nilai mutlak. Atas waktunya untuk membaca artikel ini saya ucapkan terimakasih. Terus semangat dalam menuntut ilmu, jadikan ilmu sekecil apapun berarti bagi anda. Sampai jumpa.!

About Andri Muchsin

Saya Andri Muchsin, Satu-satunya Author di Cerdaskan.com.
This entry was posted in Kalkulus Pendahuluan and tagged , , . Bookmark the permalink.

6 Responses to Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak

  1. This is a really good read for me, thank you!

  2. I’ll apply this idea…… It can be fun!

  3. ilmal alsahana says:

    Saya suka.. caranya mudah dan mudah dipahami.